Grüß dich. Bei der integrierten "Spieleaufnahme"-Funktion der Xbox, also der "Xbox Game DVR" gibt es keine Möglichkeit, das Mikrofon mit aufzunehmen. Das ist nicht vorgesehen. Wäre auch ein wenig seltsam, da man normalerweise "rückwirkend" aufnimmt und auch wenn man eine Aufnahme bewusst startet, maximal 5-10 Minuten aufgenommen werden können.
Ich würde dir empfehlen, einen Twitch-Account zu erstellen. Dann streamst du live über die Twitch-App (findest du auf der Xbox) und dein Mikrofon wird mit aufgenommen (du kannst auch einstellen, dass Party-Chat mit aufgenommen wird und auch die Lautstärke der einzelnen Audio-Quellen kannst du einstellen - meine Empfehlung beim Streamen mit Mikrofon wäre es, das Spiel auf maximal 30% Lautstärke einzustellen). Du kannst bei Twitch in deinen Account-Einstellungen (nur auf einem Browser einstellbar, nicht in der Twitch-App auf der Xbox) dazu ein Häkchen setzen, dass deine Streams gespeichert werden (nur bis zu 1080p möglich), dann kannst du sie auch nachträglich herunterladen.
Ich selbst verfahre auch nur mit Twitch. Anscheinend will Microsoft eine Partnerschaft mit Twitch eingehen, um den Dienst auch nativ ins Dashboard zu integrieren (und du müsstest z.B. auch keinen gesonderten Account erstellen, usw.), nachdem ihr eigener Streaming-Dienst, "Mixer", eingestellt wurde. Aber das ist aktuell noch Zukunftsmusik
Da die Einstellungen bei Twitch etwas schwierig zu finden sind, hier zwei Screenshots von meinem Account:
Hier stellst du erst einmal ein, dass Streams als Videos gespeichert werden.
Hier lädst du dann deine Streams herunter. Die erscheinen dort.